Exponentieller Fit

Hallo Holger,

die "verlorene" Konstante c ist ein Aspekt. Aber auch schon durch das Logarithmieren und die lineare Regression gewichte ich meine Messpunkte anders als beim Exponential-Fit. Also ergibt sich auch schon ein unterschiedliches Ergebnis selbst wenn die Konstante c fest auf Null gesetzt ist.

Gruß Unicorn

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@Holger
Da hast Du zwar im Allgemeinen Recht, aber hier, soweit es die Lösung von Gerd betrifft, nicht. Als "parameter bounds" für den Offset hat er als beiderseitige Grenzen "0" vorgegeben:
   

Hi
Die Parametergrenzen (0) für c hatte ich nicht bemerkt.
Das mit den verschiedenen Gewichtungen muss ich mir noch mal genau überlegen.

Gruß Holger

@Holger
Ich hatte das mit den Parameter-Bounds in einem früheren Stadium meiner Menschwerdung noch nicht bemerkt. Um hier trotzdem einen Offset=0 zu erzwingen, hätte ich dann einen sehr hohen X-Wert künstlich hingzugefügt (Y=0), und diesen mit der millionenfachen Gewichtung versehen. Das war aber nur eine Behelfslösung.
Um die Gewichtung muss man sich nicht kümmern, wenn die absolute mittlere Fehler bei allen Messpunkten gleich ist, d.h alle Punkte in der gleichen Toleranzbandbreite liegen.
Es könnte aber z.B. auch sein, dass der relative Fehler der Messpunkte immer gleich ist. Dann müssten die Messwerte eine Gewichtung umgekehrt proportional zum Messwert erhalten. Gemacht habe ich das aber noch nicht.
Gruß Ludwig

Hi
Dass man Grenzen für die Fit-Parameter angeben kann war mit schon klar. Mir war nur nicht bewusst, dass die Voreinstellung für c=0 ist, das hatte ich bei meinem Kommentar übersehen.

Das wichten der Messwerte ist auch klar.

Ich muss mir mir nur noch einmal klarmachen, wie sich die nichtlineare Abbildung, der Logarithmus, auf den Fit auswirkt. Wenn man einen Computer einsetzen kann, nimmt man einfach die richtige Funktion, hier den Exponential-Fit. Wenn man nur Bleistift und Papier hat, in diesem Fall natürlich eines mit logarithmischer Y-Achse, legt man durch die aufgetragenen Messwerte eine Gerade und bestimmt die Parameter. Dass bei den beiden Methoden, Exponentiell-Fit und Lineare Regression der logarithmierten Werte, verschiedenen Parameterwerte herauskommen, muss ein Artefakt der numerischen Algorithmen bei der Behandlung der Abweichungen sein. Und das muss ich mir noch einmal genau überlegen.

Oder kann das jemand ad hoc hinschreiben?

Gruß Holger

Hallo Holger,

das ist kein Artefakt der nummerischen Algorithmen.

Die minimierten Abstandsquadrate in der logarithmischen Darstellung entsprechen Faktoren in der linearen Darstellung. Damit werden bei großen Werten größere Abweichungen zugelassen als bei kleinen Werten (Im Endefekt werden große Werte weniger stark gewichtet als kleine Werte). Der Exponential-Fit dagegen lässt für alle Werte die gleichen Abweichungen zu (weil er die Abstände in der linearen Darstellung minimiert).

Gruß,
Unicorn

Mit anderen Worten: Der exponentielle Fit gewichtet nach gleicher absoluter Toleranz der Y-Werte, der lineare Fit nach Logarithmierung der Y-Werte gewichtet nach gleicher relativer Tolerenz der Y-Werte.
Man kann aber durch Beschaltung der Eingänge "Gewichtung" bei den VIs "exponentieller" und "linearer" Fit jederzeit die gleichen Ergebnisse mit beiden Methoden erzielen.
linkes Bild: konstante absolute Toleranz, rechtes Bild: konstante relative Toleranz:
       

Hi
Vielen Dank für die anschaulichen Erläuterungen.

Manche Zusammenhänge macht man sich in der täglichen Routine nicht wirklich klar, sondern benutzt einfach die verfügbaren Werkzeuge. Die Auswirkungen auf die Resultate können aber, wie hier gezeigt, durchaus signifikant werden.

Ich hoffe, dass diese Diskussion das Bewusstsein für diese Problematik bei vielen weckt. Immer kritisch nachfragen, ich habe jedenfalls wieder mal dazu gelernt.

Gruß Holger